246章 導修課

    研究巴拿赫空間之前，我們有必要完全弄清楚巴拿赫空間、希爾伯特內積空間、賦範線性空間這三者之間的區別和聯繫。

    賦範線性空間是距離空間，希爾伯特內積空間必然是賦範線性空間，巴拿赫空間是完備的賦範線性空間。這是三者間的基本關係。

    作為資深專家，具備大師水平的數學研究者，穆勒和沈奇同樣需要依託最基礎的理論去證明體系內的定理。

    內積空間中的內積可以定義範數，而範數不一定非要內積來定義。希爾伯特空間是巴拿赫空間的特例，而巴拿赫空間是完備距離空間的特例。

    所以，沈奇基於穆勒在1982年的一條證明重新定義如下:

    “巴拿赫空間x的一個非空子集c稱為逼近緊的，是指對任意{xn}∞n=1∈c及任意y∈x，如果使得

    ‖xn-y‖→dist（y，c）=inf{‖xn-y‖:x∈c}，

    那麼{xn}∞n=1就存在一個柯西列，稱x是逼近緊的，且x的每個閉凸子集是逼近緊。”

    “思路逐漸清晰，沈奇你認為一個巴拿赫空間x是逼近緊的當且僅當它具備drop性質。”穆勒教授再次檢查沈奇設定的前提條件。

    巴拿赫空間綜合了泛函分析、拓撲、空間幾何等諸多分支，是一個有難度的領域，不適合初學者接觸。

    “沒錯。”沈奇和穆勒交流起來非常通暢，聰明人不廢話，數學家不囉嗦。

    “需要我做什麼？”穆勒教授問到，並沒有擺出教授及導師的架子，他視沈奇為平等的學術合作伙伴，就如當年的哈代和拉馬努金、高斯和黎曼、歐拉和拉格朗日、歐幾里得和阿基米德。

    在學術上平等對待徒弟的師傅，往往能跟弟子一同載入史冊。酷愛消滅徒弟的畢達哥拉斯，他在數學史上的聲望評價為負分。

    沈奇說到:“巴拿赫空間的rnp性質和鞅理論分析就拜託穆勒教授了，你是這方面的專家。”

    “ok，那我們還等什麼？分頭幹活吧，爭取一個月之後合稿。”穆勒教授親力親為，這畢竟是他最先提出來的一個定理，他要親手完成這項跨越三十幾個春秋、滲透複雜感情的課題。

    “ok。”沈奇收拾好資料，準備離開穆勒的辦公室，去完成人生中第一個以自己姓氏命名的數學定理。

    “對了，明天你去帶導修課，這是我的教案備份和學生信息，你熟悉一下。”穆勒遞給沈奇一個又厚又重的文件袋。